建幾何形

以規矩作之附每作之證，自所與元生可建之幾何形。

用時

• 與特幾何元（點、段、角）而求建形
• 命建古典歐幾里得之作（分、垂、切）
• 驗形以規矩可建乎
• 為教或書生建之指
• 化幾何述為序原作

入

• 必：目形之述（如「於 AB 邊之正三角」）
• 必：所與元（起始之點、段、圓、角）
• 可選：出式（敘、號步、偽碼、SVG 坐標）
• 可選：證之詳（簡、常、嚴附定引）
• 可選：若不可建是否含不可之析

法

第一步：識所與元與目形

析題以取：

1. 所與元 -- 列所供之諸點、段、角、圓、長。
2. 目形 -- 精述須建何。
3. 制 -- 注任加條（全等、平行、切、共線）。

以標式述題：

Given: Points A, B; segment AB; circle C1 centered at A with radius r.
Construct: Equilateral triangle ABC with AB as one side.
Constraints: C must lie on the same side of AB as point P (if specified).

驗諸引元善定且一。

得： 作題之清一之重述，每所與元已目錄而目形精述。

敗則： 若題含糊，列可解且求明。若所與元相悖（如邊為 1、1、5 之三角），述悖而止。

第二步：驗可建

定目形能以規矩而建乎。

1. 察代數制。 長可建若唯若其於理之連平方域擴內。若作需立方或超越，不可。

2. 知不可之作：

   • 三分通角
   • 倍立方（建 2 之立方根）
   • 化圓為方（建 sqrt(pi)）
   • 正 n 邊形 n 非 2 之冪與異 Fermat 素之積時

3. 知可建之作：

   • 分任角任段
   • 建垂與平
   • 移所與長
   • n 於 {3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, ...} 之正 n 邊
   • 以 +、-、*、/、sqrt 表達之任長

4. 書裁附證。

Constructibility analysis:
- Target: equilateral triangle on segment AB
- Required operations: circle-circle intersection (two arcs of radius AB)
- Algebraic degree: 2 (quadratic extension)
- Verdict: CONSTRUCTIBLE

得： 可建與否之定裁，附簡證引相關代或古典之果。

敗則： 若可建不確，試化問於知之可建原。若形證不可建，書不可之證而議近可建之似或他法（如 neusis 作、摺紙）。

第三步：謀建序

分目形為原作之序。

1. 識所需原。 每規矩作化為此諸原子：

   • 經二點畫線
   • 附中與半畫圓（中 + 周上點）
   • 標二線之交
   • 標線圓之交
   • 標二圓之交

2. 序諸作。 每作必只引已存之點（所與或前建）。建依圖：

Step 1: Draw circle C1 centered at A through B.       [uses: A, B]
Step 2: Draw circle C2 centered at B through A.       [uses: A, B]
Step 3: Mark intersections of C1 and C2 as P, Q.      [uses: C1, C2]
Step 4: Draw line through P and Q.                     [uses: P, Q]

3. 最少步。 尋合作或再用前建之機。

4. 注每步之幾何用（如「此建 AB 之垂分」）。

得： 序原作之列，每步只依前立元而涵目形諸部。

敗則： 若分停，識當建點集中不可達之部。重察第二步確可建，或引助作（助圓、中點、反射）以橋。

第四步：行諸步附證

書每建步附歐式之證。

每原作書：

1. 作：何畫或標。
2. 入：用何存元。
3. 證：何歐命、定、性保此作生所言果。
4. 出：何新元生。

每步一式：

Step 3: Mark intersections of C1 and C2 as P and Q.
  - Operation: Circle-circle intersection
  - Inputs: C1 (center A, radius AB), C2 (center B, radius BA)
  - Justification: Two circles with equal radii whose centers are separated
    by less than the sum of their radii intersect in exactly two points,
    symmetric about the line of centers (Euclid I.1).
  - Output: Points P and Q, where AP = BP = AB (equilateral property).

續至目形全建。繁形則聚相關步為段（如「段一：建助垂分」、「段二：定內心」）。

得： 全證建序之步，依序行則生目形。每新點、線、圓皆清。

敗則： 若某步無證可供，此步或無效。獨驗幾何言。常誤含：假設二圓交而實不（察中距對半徑和/差），或假設點於線而無證。

第五步：驗建合述

確所建形滿諸原求。

1. 每制察自第一步對建形：

   • 全等：以建驗等長等角
   • 平/垂：以建法確（如垂分保九十度）
   • 入：驗所需點於所需線圓

2. 計自由度。 所建形宜有述所隱之參數。若多，述不全。若無而建敗，述過或悖。

3. 以特坐標試（選而宜於繁作）：

Verification with coordinates:
Let A = (0, 0), B = (1, 0).
C1: x^2 + y^2 = 1
C2: (x-1)^2 + y^2 = 1
Intersection: x = 1/2, y = sqrt(3)/2
Triangle ABC: sides AB = BC = CA = 1. VERIFIED.

4. 書驗果附每制之過/敗。

得： 諸原述之制皆驗，建確為正。坐標察（若行）合幾何言。

敗則： 若制敗，回追建以尋誤步。常因：交擇誤（線圓交之誤枝）、坐標驗之符誤、或缺助作。

驗

• 題以標 Given/Construct/Constraints 式重述
• 可建析存附清裁與證
• 每建步只用前立元
• 每步含作、入、證、出
• 證引相關幾何理（歐、定名、性）
• 目形全建（無缺部）
• 諸原制對已畢建驗
• 無步賴測、近、不可建之作
• 步數合形之繁

陷

• 假交存：二圓唯於中距於 |r1 - r2| 與 r1 + r2 間相交。必於標交前驗此。忘察生紙上成幾何敗之作。

• 誤交枝：圓圓與線圓之交生二點。建必述用何（如「於 AB 同側之交於 P」）。不明之擇生二有效而異之形。

• 混建與測：規矩作不許測長角。不可「測段 AB 後標同長」。反之，以規轉半徑畫圓附新點經舊端。

• 略可建察：試三分通角或建正七邊耗力。建序前必驗可建。

• 過繁之序：多作有優雅短解。若建逾十五原步於標形，尋簡法。古典源（歐、Hartshorne）常供最少之作。

• 隱助元：忘書助作（如「延 AB 至 D」）使序不可循。每用元必明建。

參

• solve-trigonometric-problem

  - 三角析常驅或驗建

• prove-geometric-theorem

  - 建常為幾何證之步

• create-skill

  - 包新建為可用技時循此