構幾何圖

為指定幾何圖作尺規之構，每步記其歐氏依據，並驗其果合原要求。

適用時機

• 予特定幾何元素（點、段、角）而求構圖
• 命行古典歐氏構（平分線、垂線、切線）
• 驗圖可否以尺規獨成
• 為教學或文件生構步
• 將幾何規轉為有序之原始作業

輸入

• 必要：目標圖之描述（如「以 AB 為邊之等邊三角形」）
• 必要：予之元素（所給之點、段、圓、角）
• 選擇性：輸出格式（敘、編號步、偽碼、SVG 座標）
• 選擇性：依據詳度（簡、標、引定理之嚴）
• 選擇性：若不可構是否含不可能之分析

步驟

步驟一：辨予之元素與目標圖

解問題陳以抽：

1. 予之元素 -- 列每點、段、角、圓、長。
2. 目標圖 -- 精述當構何。
3. 約束 -- 記任何附加條件（全等、平行、切、共線）。

以標準形表問題：

Given: Points A, B; segment AB; circle C1 centered at A with radius r.
Construct: Equilateral triangle ABC with AB as one side.
Constraints: C must lie on the same side of AB as point P (if specified).

驗所引元素皆良定且一致。

預期： 構造問題之清晰無歧重述，附每予之元素已目及目標圖之精描。

失敗時： 若問題陳含歧，列可能解並求澄清。若予之元素矛盾（如邊長 1、1、5 之三角形），述矛盾並止。

步驟二：驗可構性

定目標圖可否以尺規獨構。

1. 查代數約束。長可構若且唯若其於有理數之連續平方根所得之體擴展中。若構需立方根或超越作業，則不可能。

2. 已知不可能之構：

   • 三等分一般角
   • 倍立方（構 2 之立方根）
   • 化圓為方（構 sqrt(pi)）
   • n 非 2 之冪與相異費馬素數之積時構正 n 邊形

3. 已知可構之作業：

   • 平分任一角或段
   • 構垂線與平行線
   • 傳一予之長
   • 正 n 邊形，n ∈ {3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, ...}
   • 可以 +、-、*、/、sqrt 於予之長表達之任何長

4. 記判決附依據。

Constructibility analysis:
- Target: equilateral triangle on segment AB
- Required operations: circle-circle intersection (two arcs of radius AB)
- Algebraic degree: 2 (quadratic extension)
- Verdict: CONSTRUCTIBLE

預期： 關於可構性之定然 yes/no 判決，附引相關代數或古典結果之簡短依據。

失敗時： 若可構性不確，試將問題約為已知可構之原始作業。若圖可證不可構，記不可能性之證並建議最近之可構近似或替法（如 neusis 構造、摺紙）。

步驟三：規劃構造序

將目標圖分解為原始構造作業之序。

1. 辨所需原始作業。每一尺規構造約為此原子作業：

   • 過二點畫一線
   • 予中心與半徑（中心＋圓周上一點）畫圓
   • 標二線之交
   • 標一線與一圓之交
   • 標二圓之交

2. 序作業。每作業只能引已存之點（予之或先構之）。建依賴圖：

Step 1: Draw circle C1 centered at A through B.       [uses: A, B]
Step 2: Draw circle C2 centered at B through A.       [uses: A, B]
Step 3: Mark intersections of C1 and C2 as P, Q.      [uses: C1, C2]
Step 4: Draw line through P and Q.                     [uses: P, Q]

3. 減步數。覓合作業或復用先構元素之機。

4. 註每步以其幾何目的（如「此構 AB 之中垂線」）。

預期： 有序之原始作業列，每步只依先立之元素，涵目標圖所有部。

失敗時： 若分解停滯，辨圖之何部不能自當前已構點達。回步驟二確可構性，或引輔助構（助圓、中點、反射）以跨差。

步驟四：行構造步含依據

全書每構造步，供歐氏依據。

每原始作業記：

1. 作業：何為畫或標。
2. 輸入：用何既存元素。
3. 依據：何歐氏命題、定理、或性質保作業生所稱之果。
4. 輸出：生何新元素。

每步一致格式：

Step 3: Mark intersections of C1 and C2 as P and Q.
  - Operation: Circle-circle intersection
  - Inputs: C1 (center A, radius AB), C2 (center B, radius BA)
  - Justification: Two circles with equal radii whose centers are separated
    by less than the sum of their radii intersect in exactly two points,
    symmetric about the line of centers (Euclid I.1).
  - Output: Points P and Q, where AP = BP = AB (equilateral property).

續至目標圖全構。複雜圖將相關步群為階段（如「階段一：構輔助中垂線」、「階段二：定內心」）。

預期： 完整之依據構造步序，依序行時產生目標圖。每新點、線、圓皆有記。

失敗時： 若某步之依據不能供，或其無效。獨立驗幾何主張。常誤含：假二圓相交而實未相交（查中心距 vs 半徑之和/差）、假一點於一線上而無證。

步驟五：驗構造合規

確所構圖滿所有原要求。

1. 查每一約束自步驟一對所構圖：

   • 全等：以構造驗等長或等角。
   • 平行/垂直：以構造法確（如中垂線保 90 度）。
   • 入射：驗所需點於所需線或圓上。

2. 計自由度。所構圖應有規所含之自由參數數。若有餘之自由度，規則未確。若無而構敗，規則過確或矛盾。

3. 以具體座標測（選而於複雜構造推薦）：

Verification with coordinates:
Let A = (0, 0), B = (1, 0).
C1: x^2 + y^2 = 1
C2: (x-1)^2 + y^2 = 1
Intersection: x = 1/2, y = sqrt(3)/2
Triangle ABC: sides AB = BC = CA = 1. VERIFIED.

4. 記驗證果，每約束清 pass/fail。

預期： 原規之每約束皆驗，構造確正。座標查（若行）合幾何論據。

失敗時： 若約束敗，追溯構造覓誤步。常因：錯擇交（圓-線交之錯枝）、座標驗證之正負號誤、或缺輔助構造。

驗證

• 問題陳以標 Given/Construct/Constraints 形重述
• 可構性分析在含明判決與依據
• 每構造步僅用先立之元素
• 每步含作業、輸入、依據、輸出
• 依據引相關幾何原則（Euclid、定理名、或性質）
• 目標圖已全構（無缺件）
• 所有原約束已對完成之構造驗
• 無步依量測、近似、或不可構作業
• 步數合圖之複雜

常見陷阱

• 假交存：二圓僅於中心距於 |r1 - r2| 與 r1 + r2 間相交。標交前總驗此條件。忘此查致紙上運而幾何上敗之構造。

• 錯交枝：圓-圓與線-圓交生二點。構造須指用何（如「與點 P 同側於 AB 之交」）。歧之交擇生二有效而不同之圖。

• 混構造與量測：尺規構造不允量長或角。不能「量段 AB 後標同長」。改用圓規以過新點過舊端點之圓傳半徑。

• 略可構性查：試三等分一般角或構正七邊形耗力。構造序始前總驗可構性。

• 過繁之序：多構造有雅短解。若標準圖之構超 15 原始步，覓簡法。經典源（Euclid、Hartshorne）常供最少之構。

• 隱輔助元素：未記助構（如「延 AB 至點 D」）令序不可循。所用每元須明構。

相關技能

• solve-trigonometric-problem

  - 三角分析常激發或驗構造

• prove-geometric-theorem

  - 構造常於幾何證中作為步現

• create-skill

  - 包新構造為可復用技能時循