理論的結果の導出

述べられた公理、第一原理、または確立された定理から出発して、厳密なステップバイステップの理論的結果の導出を生成する。すべての代数的・論理的ステップは明示的に正当化され、極限ケースが検証され、最終結果は完全な記号一覧と共に提示される。

使用タイミング

• 第一原理から公式、関係、定理を導出する時（例: 作用原理からオイラー-ラグランジュ方程式を導出）
• 公理からの論理的演繹により数学的命題を証明する時
• 教科書的な結果を検証するため、または修正された文脈に適応するために再導出する時
• 既知の結果をより一般的な設定に拡張する時（例: 平坦時空から曲がった時空へ）
• 論文、学位論文、技術報告書のための自己完結的な導出を作成する時

入力

• 必須: 導出する目標結果（方程式、不等式、定理の命題、関係式）
• 必須: 出発点（公理、公準、既に確立された結果、ラグランジアン/ハミルトニアン）
• 任意: 好みの証明技法（直接、背理法、帰納法、変分法、構成的）
• 任意: 従うべき記号規約（特定の教科書や共同研究者の規約に合わせる場合）
• 任意: 再導出せずに引用してよい既知の中間結果

手順

ステップ1: 出発仮定と目標結果の表明

計算を始める前に、導出の契約を明示的に記述する:

1. 公理と公準: 導出が基づくすべての仮定を列挙する。物理学では、対称性群、作用原理、量子力学の公準を含む。数学では、公理系と既に証明された補題を含む。
2. 目標結果: 導出すべき結果を精密な数学的記法で表明する。結果が方程式の場合、両辺を書く。不等式の場合、方向と等号成立の条件を述べる。
3. 範囲と制限: 有効性の領域を述べる（例: 「非相対論的、スピンなしの3次元粒子に有効」）。導出がカバーしないものを特定する。
4. 記号宣言: 現れるすべての記号を定義する。これにより曖昧さが防がれ、導出が自己完結する。

## Derivation Contract
- **Starting from**: [axioms, postulates, or established results]
- **Target**: [precise mathematical statement]
- **Domain of validity**: [restrictions and assumptions]
- **Notation**:
  - [symbol]: [meaning and units]
  - ...

期待結果: 何から何を導出するかの完全で曖昧さのない表明。すべての記号が事前に定義されている。

失敗時: 目標結果が曖昧または出発仮定が不完全な場合、進む前に明確にする。隠れた仮定を持つ導出は信頼できない。

ステップ2: 必要な数学的道具の特定

必要なツールを調査し、適用可能性を検証する:

1. 代数的技法: 必要な操作を特定する（テンソル代数、交換子代数、行列演算、級数展開）。関係する構造が前提条件を満たすことを検証する（例: 級数の収束条件、行列演算の可逆性）。
2. 微積分学と解析学: 導出に常微分または偏微分、積分（どの領域上か）、汎関数微分、複素積分、超関数論が必要かを特定する。正則性条件（微分可能性、可積分性、解析性）を検証する。
3. 対称性と群論: 必要な表現論的ツールを特定する（既約表現、クレブシュ-ゴルダン係数、指標の直交性、ウィグナー-エッカートの定理）。
4. トポロジーと幾何学（該当する場合）: 幾何学的構造（多様体、ファイバー束、接続）とトポロジー的制約（境界項、巻き数、指数定理）を特定する。
5. 既知の恒等式と補題: 引用する特定の恒等式を収集する（例: ヤコビ恒等式、ビアンキ恒等式、部分積分、ストークスの定理）。導出が名前で引用できるよう、各々を明示的に述べる。

## Mathematical Toolkit
- **Algebra**: [techniques and prerequisites]
- **Analysis**: [calculus tools and regularity conditions]
- **Symmetry**: [group theory tools]
- **Identities to invoke**: [list with precise statements]

期待結果: 特定の問題に対する適用可能性条件が検証された数学的ツールのチェックリスト。

失敗時: 必要なツールの前提条件が未検証の場合（例: 一様収束が不明な級数の項ごとの微分）、ギャップとしてフラグを立てる。前提条件を証明するか、追加の仮定として述べる。

ステップ3: ステップバイステップの正当化付き導出の実行

各ステップにラベルと正当化を付けて導出を実行する:

1. 1ステップに1操作: 各番号付きステップは正確に1つの代数的または論理的操作を行う。複数の操作を1ステップに結合しない。
2. 正当化ラベル: 各ステップに正当化をタグ付けする。一般的なラベル:

   • [仮定による]

     -- 述べられた公理または仮定を引用

   • [定義による]

     -- 以前に宣言された定義を使用

   • [{恒等式名}による]

     -- 名前付き恒等式を適用（例: 「ヤコビ恒等式による」）

   • [ステップNによる]

     -- この導出の以前のステップを引用

   • [{定理名}による]

     -- 外部定理を引用（ステップ2で述べたもの）
3. 中間チェックポイント: 5〜10ステップごとに一時停止して検証:
   • 単位/次元が両辺で一致
   • 既知の対称性が保存されている
   • 式が正しい変換性を持つ
4. 分岐点: 導出が分岐する場合（例: 縮退vs非縮退固有値の場合分け）、各分岐をラベル付きサブ導出として扱い、結果をマージする。

## Derivation

**Step 1.** [Starting expression]
*Justification*: [by assumption / definition]

**Step 2.** [Result of operation on Step 1]
*Justification*: [specific reason]

...

**Checkpoint (after Step N).** Verify:
- Dimensions: [check]
- Symmetry: [check]

...

**Step M.** [Final expression = Target result]
*Justification*: [final operation]  QED

期待結果: 出発点から目標結果までの論理にギャップのないステップの線形列。各ステップが独立に検証可能。

失敗時: ステップが前のステップから導かれない場合、導出にギャップがある。不足する中間ステップを挿入するか、必要な追加仮定を特定する。ステップ2で列挙した既知の恒等式でない限り、「〜であることが示せる」でステップを省略しない。

ステップ4: 極限ケースと特殊値のチェック

導出された結果を既知の物理学または数学に対して検証する:

1. 極限ケース: 結果が既知のものに帰着すべき少なくとも3つの極限ケースを特定する:

   • より単純な、以前に導出された公式（例: 相対論的結果の非相対論的極限）
   • 自明なケース（例: 結合定数をゼロに設定）
   • 極端なパラメータ領域（例: 高温極限または低温極限）

2. 特殊値: 答えが独立に既知であるパラメータの特定の値を代入する（例: 水素原子のn=1、3次元結果のd=3）。

3. 対称性チェック: 結果が対称性群の下で正しく変換されることを確認する。結果がスカラーであるべきなら不変であることをチェック。ベクトルであるべきなら変換則をチェック。

4. 関連する結果との整合性: 導出された結果が同じ理論の他の既知の結果と整合するかチェックする（例: ワード恒等式、和則、相反関係）。

## Limiting Case Verification
| Case | Condition | Expected Result | Derived Result | Match |
|------|-----------|----------------|----------------|-------|
| [name] | [parameter limit] | [known result] | [substitution] | [Yes/No] |
| ... | ... | ... | ... | ... |

期待結果: すべての極限ケースと特殊値が期待される結果を生成する。導出が内部的に整合する。

失敗時: 極限ケースの失敗は導出のエラーを示す。極限に失敗する式を最初に生成するステップを逆追跡してチェックする。一般的な原因: 符号の間違い、2またはπの因子の欠落、組合せ係数の間違い、極限の順序が重要なステップ。

ステップ5: 記号一覧付きの完全な導出の提示

最終的な洗練された導出を組み立てる:

1. 叙述構造: 物理的または数学的動機、アプローチ、主要結果を述べる簡潔な導入段落を書く。
2. 導出本体: ステップ3のステップを読みやすさのために整理して提示する。関連するステップを記述的な見出し付きの論理的ブロックにグループ化する（例: 「作用を2次まで展開する」、「停留位相条件を適用する」）。
3. 結果ボックス: 最終結果を導出から明確に分離されたハイライトブロックで表明する。
4. 記号一覧: 導出で使用したすべての記号を意味、単位（物理的な場合）、初出箇所と共にまとめる。
5. 仮定の要約: すべての仮定を1箇所に列挙し、基本的な公準と技術的仮定（例: 滑らかさ、収束性）を区別する。

## Final Result

> **Theorem/Result**: [precise statement with equation number]

## Notation Glossary
| Symbol | Meaning | Units | First appears |
|--------|---------|-------|---------------|
| [sym] | [meaning] | [units or dimensionless] | [Step N] |
| ... | ... | ... | ... |

## Assumptions
1. [Fundamental postulate 1]
2. [Technical assumption 1]
3. ...

期待結果: 明示的に引用された恒等式と定理以外の外部参照を参照せずに、読者が最初から最後まで追える自己完結的な文書。

失敗時: 導出が単一文書には長すぎる場合（約50ステップ超）、補題に分割する。各補題を個別に導出し、補題を引用して主要結果を組み立てる。

バリデーション

• すべての出発仮定が最初の計算ステップの前に明示的に述べられている
• すべての導出ステップにラベル付きの正当化がある（正当化されていない飛躍がない）
• 各中間チェックポイントで単位と次元が一致している
• 少なくとも3つの極限ケースがチェックされ期待される結果を生成する
• 特殊値が独立に既知の答えに一致する
• 結果が述べられた対称性群の下で正しく変換される
• 記号一覧が使用されたすべての記号を定義している
• 導出が完全である: 「〜であることが示せる」で延期されたステップがない
• 有効性の領域が最終結果と共に明示的に述べられている

よくある落とし穴

• 隠れた仮定: 関数が解析的であること、級数が収束すること、積分が存在することを述べずに仮定する。すべての正則性条件は仮定であり、宣言されなければならない
• 符号エラー: 最も一般的な機械的エラー。代入を通じて追跡することで各ステップで符号を検証する。次元解析に対してクロスチェックする（符号エラーはしばしば次元的に整合しない式を生む）
• 境界項の落とし: 部分積分やストークスの定理を適用する際、境界項は特定の条件が満たされる場合にのみ消える。なぜ消えるかを述べる（例: 「無限遠で場が1/rより速く減衰するため」）
• 極限の順序: 極限を間違った順序で取ると異なる結果になりうる（例: ゼロ温度極限の前の熱力学的極限）。順序を明示し正当化する
• 循環論法: 導出すべき結果を中間ステップとして使用する。結果がよく知られた公式で「自明に見える」場合に特に微妙。すべてのステップは答えへの慣れからではなく、述べられた出発点から導かれなければならない
• 記号の衝突: 異なる量に同じ記号を使用する（例: エネルギーと電場の両方に'E'を使用）。記号一覧がこれを防ぐが、導出の後ではなく前に書かれた場合のみ有効

関連スキル

• formulate-quantum-problem

  -- そこから結果を導出する前に量子力学的枠組みを定式化する

• survey-theoretical-literature

  -- 比較のために同じまたは関連する結果の先行導出を見つける