考研数学知识点结构技能 (Kaoyan Math Structure)

📁 详细代码实现见 code.md

技能概述

本技能提供考研数学的知识点结构模板和模块组织，帮助用户：

1. 知识点结构模板：各模块的标准目录结构
2. 知识点关系图：知识点之间的依赖和关联
3. 考研数学三大模块：高数/线代/概率的完整知识点参考
4. 目录结构优先级：确定笔记组织方式

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触发条件

触发此技能当：

知识点结构相关：

• "数学知识点结构"
• "高数目录结构"
• "极限章节结构"
• "线代知识点"
• "概率知识点"
• "知识点关系图"
• "函数极限与连续结构"

不触发此技能当：

• 生成/更新笔记 → 使用 kaoyan-math-notes
• MemOS配置/欠账检查 → 使用 kaoyan-math-core

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目录结构优先级

当生成笔记时，按以下优先级确定目录结构：

1. 用户提供的图片结构（最高优先级）
2. 本文档定义的标准结构
3. 高数资料中的章节结构（

   /Users/zhqznc/Documents/高数资料/

   ）
4. AI 推断的合理结构（最低优先级）

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函数极限与连续模块结构

生成此模块笔记时，严格遵循以下目录结构：

1-函数的概念与特性/

函数的概念与特性
├── 函数的定义.md          # y = f(x) 的定义、定义域、值域
├── 反函数.md              # y = f⁻¹(x)，水平画线法
├── 复合函数.md            # y = f[g(x)]，运算法则
├── 隐函数.md              # F(x,y) = 0
└── 四种特性/
    ├── 有界性.md          # |f(x)| ≤ M，重要结论
    ├── 单调性.md          # 增减性判断方法
    ├── 奇偶性.md          # f(-x) = ±f(x)，重要结论
    └── 周期性.md          # f(x+T) = f(x)，重要结论

2-函数的图像/

函数的图像
├── 基本初等函数.md        # 六类基本初等函数（常数、幂、指、对、三角、反三角）
├── 初等函数.md            # 定义与性质
└── 分段函数.md            # 绝对值、符号、取整函数

3-函数极限的概念与性质/

函数极限的概念与性质
├── 邻域.md                # δ邻域、去心邻域
├── 极限定义.md            # ε-δ 语言
├── 超实数.md              # 超实数在极限中的应用
├── 极限性质.md            # 唯一性、局部有界、保号性
├── 无穷小定义.md          # 定义与性质
├── 无穷小比阶.md          # 比阶方法
├── 等价无穷小.md          # ⭐ 常用等价无穷小（必记）
└── 无穷大.md              # 定义与关系

4-极限计算方法/（重中之重）

极限计算方法
├── 四则运算.md            # 极限四则运算法则
├── 洛必达法则.md          # ⭐⭐⭐⭐⭐ 重中之重
├── 泰勒公式.md            # ⭐⭐⭐⭐⭐ 重中之重
├── 泰勒展开原则.md        # 上下同阶、幂次最低
├── 无穷小运算.md          # 代换技巧
├── 重要极限.md            # sinx/x, (1+1/x)^x
├── 夹逼准则.md            # 使用条件与方法
└── 七种未定式.md          # 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞, ∞⁰, 0⁰, 1^∞

5-函数的连续与间断/

函数的连续与间断
├── 连续性定义.md          # 左连续、右连续
├── 间断点分类.md          # 第一类、第二类间断点
└── 闭区间性质.md          # 有界性、最值、零点、介值定理

笔记存储路径

考研数学/
└── 高数-函数极限与连续/
    ├── 📑 索引.md
    ├── 📊 学习进度.md
    ├── 1-函数的概念与特性/
    ├── 2-函数的图像/
    ├── 3-函数极限的概念与性质/
    ├── 4-极限计算方法/
    └── 5-函数的连续与间断/

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高等数学 (微积分) 知识点

高等数学核心知识点:
├── 极限与连续
│   ├── 极限计算 (洛必达法则、泰勒公式、等价无穷小)
│   ├── 函数连续性与间断点
│   └── 数列极限与级数初步
│
├── 一元函数微分学
│   ├── 导数定义与计算
│   ├── 导数应用 (单调性、极值、凹凸性、渐近线)
│   ├── 微分中值定理 (罗尔、拉格朗日、柯西)
│   └── 洛必达法则应用
│
├── 一元函数积分学
│   ├── 不定积分 (换元法、分部积分法)
│   ├── 定积分 (牛顿-莱布尼茨公式)
│   ├── 反常积分 (无穷区间、无界函数)
│   └── 定积分应用 (面积、体积、弧长、旋转体)
│
├── 多元函数微积分
│   ├── 多元函数极限与连续
│   ├── 偏导数与全微分
│   ├── 多元函数极值与最值
│   ├── 重积分 (二重、三重)
│   ├── 曲线积分与曲面积分
│   └── 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式
│
├── 微分方程
│   ├── 一阶微分方程 (可分离变量、齐次、线性)
│   ├── 可降阶的高阶方程
│   └── 二阶常系数线性微分方程
│
└── 无穷级数
    ├── 数项级数 (正项级数、交错级数)
    ├── 幂级数 (收敛域、展开式)
    └── 傅里叶级数

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线性代数知识点

线性代数核心知识点:
├── 行列式
│   ├── 行列式定义与性质
│   ├── 行列式计算 (展开、三角化)
│   └── 克莱姆法则
│
├── 矩阵
│   ├── 矩阵运算 (加、减、乘、转置)
│   ├── 逆矩阵与伴随矩阵
│   ├── 矩阵的秩与等价标准形
│   └── 分块矩阵
│
├── 向量
│   ├── 向量运算与线性组合
│   ├── 线性相关与线性无关
│   ├── 极大线性无关组与秩
│   └── 向量空间与基
│
├── 线性方程组
│   ├── 克莱姆法则
│   ├── 矩阵法求解 (初等行变换)
│   └── 解的结构 (基础解系、通解)
│
├── 特征值与特征向量
│   ├── 特征值特征向量的定义与计算
│   ├── 特征值的性质 (迹、行列式)
│   └── 矩阵对角化
│
└── 二次型
    ├── 二次型的矩阵表示
    ├── 化为标准形 (配方法、正交变换)
    └── 正定二次型判定

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概率论与数理统计知识点

概率论与数理统计核心知识点:
├── 概率基础
│   ├── 样本空间与事件
│   ├── 古典概型与几何概型
│   ├── 条件概率与独立性
│   └── 全概率公式与贝叶斯公式
│
├── 随机变量
│   ├── 离散型随机变量 (分布律)
│   ├── 连续型随机变量 (密度函数)
│   ├── 分布函数
│   └── 随机变量函数的分布
│
├── 常用分布
│   ├── 离散型: 0-1分布、二项分布、泊松分布、几何分布
│   └── 连续型: 均匀分布、指数分布、正态分布
│
├── 多维随机变量
│   ├── 联合分布
│   ├── 边缘分布与条件分布
│   ├── 随机变量的独立性
│   └── 随机变量函数的分布 (和、差、积、商、最大最小)
│
├── 数字特征
│   ├── 数学期望
│   ├── 方差与标准差
│   ├── 协方差与相关系数
│   └── 矩
│
├── 大数定律与中心极限定理
│   ├── 切比雪夫不等式
│   ├── 大数定律 (辛钦、伯努利)
│   └── 中心极限定理 (棣莫弗-拉普拉斯、列维-林德伯格)
│
└── 数理统计
    ├── 统计量 (样本均值、样本方差)
    ├── 三大抽样分布 (χ²分布、t分布、F分布)
    ├── 点估计 (矩估计、最大似然估计)
    └── 区间估计

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知识点关系图

极限模块关系图

"洛必达法则":
  prerequisites: ["极限定义", "导数定义"]
  combinations: ["等价无穷小", "泰勒公式"]
  applications: ["定积分应用", "变限积分求导"]
  cross_chapter_prompts:
    - "注意：当遇到变限积分求导时，通常会结合洛必达法则考查"
    - "建议：同时复习 [[定积分应用]] 中的变限积分部分"
    - "关联：洛必达法则常与泰勒公式结合考查极限问题"

"泰勒公式":
  prerequisites: ["导数定义", "高阶导数"]
  combinations: ["洛必达法则", "等价无穷小"]
  applications: ["级数展开", "近似计算"]
  cross_chapter_prompts:
    - "注意：泰勒公式在处理复杂函数极限时比洛必达法则更简洁"
    - "建议：掌握常见函数的泰勒展开式（sin x, cos x, e^x, ln(1+x)）"
    - "关联：泰勒公式是级数展开的基础，参考 [[幂级数]]"

"变限积分求导":
  prerequisites: ["定积分定义", "导数定义"]
  combinations: ["洛必达法则", "复合函数求导"]
  applications: ["积分方程", "微分方程"]
  cross_chapter_prompts:
    - "注意：变限积分求导常与洛必达法则结合考查极限"
    - "建议：熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式和链式法则"
    - "关联：遇到积分方程时，常需先求导转化为微分方程"

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验证标准

1. ✅ 能够提供各模块的标准目录结构
2. ✅ 能够提供知识点关系图
3. ✅ 能够按优先级确定目录结构
4. ✅ 触发条件准确（不会误触发）

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技能集成

依赖技能

技能	用途
kaoyan-math-core	获取知识点联动关系
kaoyan-math-notes	提供结构模板供笔记生成使用

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创建日期: 2026-03-10 版本: 1.0.0